二分法

二分法，顾名思义，即是在某个区间内进行二分查找，取中间值的意思，我们以为例：

已知；

则取与的中间点，因为，则再取与的中间值，以此类推下去。

因为非完全平方数算术平方根是无理数，所以算得的区间会无限接近于这个无理数，由此可见，每计算次，所得的结果的误差也就不超过

类似地，还有一种方法叫做逐次逼近法，我们以为例，我们知道，为了计算的小数点后一位，我们可以把、、……全部算出来，当算到，时，我们就可以确定小数点后一位数字，以此类推，我们把，……计算出来，与比较，从而得出小数点后两位……这样，每进行次运算（最坏情况），误差就不大于

但是，用这种方法，越到后面，计算量就越大，但是进步不快，有没有更加简便的方法呢？

平方法

这种方法，主要是以不等式的计算规律，来加快计算速度，我们还是以为例，我们知道

把上式两端各减去，得

上式平方，得

上式平方，得

上式平方，得

上式左右同除以，得

整理，得

观察上式，我们可以看出，我们求出的区间的误差不超过，这比上一种方法计算量要小得多，而且每次取得的进步是平方级别的，按照这样，我们可以算出的小数点后许多位，例如上式，我们化成小数后，得出的范围是。

我们不妨求解地更精确一些，例如从一开始，我们就可以把缩小到更小的范围：

平方，得

再平方，得

再平方，得

再平方，得

同除以，得

整理后化成小数，得

这样，我们就把算到了小数点后第位，仅仅通过次计算，我们就可以使算得的结果与相差不超过！

由此，我们可以证明一下用这种方法，误差是否会越来越小。如果是的近似值，且已知误差()。我们可以取一个更好的近似值(当时)，使得

和的误差满足：

我们将不等式两端平方，得

两边同除以，得

当时，，可见的误差比更小。

此外，把不等式两边同时立方，甚至次方，次方，都会得到更加精确的近似值，但是平方较为简单，而多次平方会使误差更小。此外，还可以用这种方法去求一个数立方根的值。

线性穿插法

这种方法利用了算术平方根与完全平方数的性质，我们还是以为例。

把放在中间设为，分别找到前后完全平方数：，

线性穿插，得：

我们再以为例，，

线性穿插，得：

类似地，我们设所求的平方根为，两个完全平方数的算数平方根分别为，，我们得到：

因式分解，得，

整理，得

由此，我们可以推导出

因为，所以只取正根，即

这便是线性穿插法的通解。

极限法

极限法的原理为当趋近无穷小时，有，其中为不为的常数。

我们以为例，因为

变形，得

我们设所求的算术平方根里面的数为，比它略小的完全平方数为，则

通过上面的变换，我们得到：

这便是极限法的通解。

附录

• 实现二分法

double kaifang(double low,double up){
	double x=up;
	double mid=low+(up-low)/2;
	while(fabs(mid*mid-x)>=1e-6){
		mid=low+(up-low)/2;
		if(mid*mid>x){
			up=mid;
		}
		else if(mid*mid<x){
			low=mid;
		}
	}
	return mid;
}

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